数学

1.方向导数 方向导数的计算公式 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微分，则 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处沿任意方向 $l$ 的方向导数都存在，且 $$ \frac{\partial u}{\partial l}\Bigl|_{P_{0}} =u'_{x}( P_{0})\cos \alpha +u'_{y}( P_{0})\cos \beta +u'_{z}( P_{0})\cos \gamma $$ 二元函数的情况与三元函数类似 2.梯度 在一个数量场中，函数在所给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的。为研究沿哪一个方向其方向导数最大、或增加的速度最快，于是引入了一个重要的概念—梯度 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处具有一阶偏导数，则定义 $$ \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) $$ 为函数$u=u(x,y,z)$ 在点$P_0$处的梯度 3.方向导数与梯度的关系 由方向导数的计算公式 $\frac{\partial{u}}{\partial{l}}\bigl|_{P_0} = (u_x’(P_0),u_y’(P_0),u_z’(P_0))$与梯度的定义 $$ \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) $$ 可以得到...

（一）直角坐标系下的图像 1. 常见图像 ⑤三角函数 （1）正弦函数与余弦函数 （二）极坐标系下的图像 1. 描点法 （1）心形线 极坐标方程： 水平方向：$r=a(1-\cos{\theta})(a>0)$ 垂直方向：$r=a(1-\sin{\theta})(a>0)$ 直角坐标方程： $x^2+y^2+ax=a\sqrt{(x^2+y^2)}$ 或$x^2+y^2-ax=a\sqrt{(x^2+y^2)}$ 参数方程： $x=a(2\cos{(t)}-\cos{(2t)})$ $y=a(2\sin{(t)}-\sin{(2t)})$

一.可分离变量的一阶微分方程 如果能够把一阶微分方程中所有关于 $y$ 的部分 (包括 $\mathrm{d}y$) 放在一边, 所有关于 $x$ 的部分 (包括 $\mathrm{d}x$) 放在另一边, 则该微分方程被称为是可分离变量的. 例如, 方程 $\mathrm{dy}/\mathrm{dx} = ky$ 可重新整理为 $$ \frac{1}{ky}\mathrm{d}y = \mathrm{d}x, $$ 就是可分离变量的。 然后继续计算的方法就是两遍加积分号求积分。然后再整理求得 $y$。 最终求得的全解，可能会包含一些常数变量。 如果在题干中，涉及到初值时，还是使用以上的求解方法，最后将初值代入求得的全解中，就可以得到未知常数$C$了。 二.一阶线性方程的求解 1.前言 形如 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y = q(x) $$ 其中 $p$ 和 $q$ 是关于 $x$ 的函数，这样的方程就称为一阶线性微分方程， 它可能不是可分离变量的, 甚至连线性看起来也不很明显! 例如, $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) $$ 就不像是线性的, 然而这个方程确实是一阶线性的, 因为 $y$ 和 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 的幂次都是 1. 而方程 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y^{3}=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) $$ 不是一阶线性的, 因为 $y^3$ 不是 $y$ 的一次...

常系数微分方程的形式如下 $$ a_{n} \frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}}+\cdots+a_{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+a_{1} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+a_{0} y=f(x) $$ 其中$a_n,\ldots,a_1,a_0$知识一些普通的常实数，左边式子中$\frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}}$，代表的是$y$的$n$阶导数。

以下公式来源于South Caolina 1.$\frac{1}{1-x}$ $$ \begin{aligned}\frac{1}{1-x} &=\quad1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots \\&=\quad\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\end{aligned} $$ 当为几何级数时。只需将$x$视为$r$ $x\in (-1,1)$ 2. $e^x$ $$ \begin{aligned}e^{x}\quad &=\quad 1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots \\&=\quad\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\end{aligned} $$ 3.$\cos{x}$ $$ \begin{aligned}\cos x\quad &=\quad1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\frac{x^{8}}{8 !}-\ldots \\&=\quad\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}\end{aligned} $$ 4.$\sin{x}$ $$ \begin{aligned}\sin x \quad &=\quad x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\frac{x^{9}}{9 !}-\ldots \\&=\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n-1)} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !} \stackrel{\text { or }}{=} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}\end{aligned} $$ 5.$\ln{(1+x)}$ $$ \begin{aligned}\ln (1+x)\quad &=\quad x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}-\ldots \\&=\quad\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n-1)} \frac{x^{n}}{n} \stackrel{\text { or }}{=} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}\end{aligned} $$...