a1. 一元二次函数 1.1. 定义 1.2. 性质 1.3. 一元二次方程（ax2+bx+c=0,a≠0） 2. 乘法公式 3. 阶乘与双阶乘 4. 指数运算 5. 对数运算 6. 数列 6.1. 等差数列 6.2. 等比数列 6.3. 一些常见数列前n项的和. 7. 三角函数 7.1. 三角函数基本关系 7.2. 诱导公式 7.3. 重要公式 7.3.1. 倍角公式 7.3.2. 半角公式 7.3.3. 和差公式 7.3.4. 积化和差与和差化积公式 7.3.5. 万能公式 8. 常用不等式 9. 计数原理 9.1. 加法原理 9.2. 乘法原理 9.3. 排列与排列数 9.4. 组合与组合数 9.5. 二项式定理 10. 平面几何 10.1. 平面图形 10.1.1. 三角形 10.1.2. 平行四边形 10.1.3. 矩形 10.1.4. 梯形 10.1.5. 圆 10.1.6. 扇形 10.2. 空间几何体 10.2.1. 长方体 10.2.2. 圆柱 10.2.3. 球体 11. 平面解析几何 11.1. 关于点的公式 11.1.1. 两点距离公式 11.1.2. 中点坐标公式 11.1.3. 两点斜率公式 11.1.4. 点到直线距离公式 11.2. 直线方程 11.2.1. 一般式 11.2.2. 点斜式 11.3. 两条直线的位置关系 11.3.1. 两条直线相交 11.3.2. 两条直线平行 11.3.3. 两条直线垂直 11.4. 圆的方程 11.4.1. 圆的标准方程 11.4.2. 圆的一般方程 11.5. 直线与圆的位置关系 11.6. 椭圆的标准方程 11.7. 双曲线的标准方程 11.8. 抛物线的标准方程 考研常用公式 初等数学部分 1. 一元二次函数1.1. 定义 y=ax2+bx+c (a≠0)叫做一元二次函数1.2. 性质(1) 函数的图像是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(-b

2a,4ab-b2

4a)，抛物线的对称轴是直线x=-b

2a.(2) 当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=-b

2a处取最小值4ac-b2

4a；(2) 当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=-b

2a处取最大值4ac-b2

4a.(3) 当a>0时，一元二次函数在区间(-∞,-b

2a)上是减函数，在(-b

2a,+∞)上是增函数；(3) 当a<0时，医院二次函数在区间(-∞,-b

2a)上是增函数，在(-b

2a,+∞)上是减函数；1.3. 一元二次方程（ax2+bx+c=0,a≠0）(1) 判别式Δ=b2-4ac :(1) 若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；(1) 若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；(1) 若Δ<0，则方程无实数根；(2) 一元二次方程的根 ①因式分解； ②求根公式 x1,2=-b±b2-4ac

2a. 2. 乘法公式1. (a±b)2=a2±2ab+b21. 2. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b32. 3. (a+b)3=C0nanb0+C1nan-1b1+C2nan-2b2+⋯+Cn-1na1bn-1+Cnna0bn3. 4. a2-b2=(a+b)(a-b)4. 5. a3±b3=(a+b)(a2∓ab+b2)5. 6. an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+⋯+abn-2+bn-1)3. 阶乘与双阶乘 ① n!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n，规定0!=1. ② (2n)!!=2⋅4⋅6⋅⋯⋅(2n)=2n⋅n!. (双阶乘1) ③ (2n-1)!!=1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n-1).4. 指数运算(1) aman=am+n(1) (2) (am)n=amn(2) (3) (ab)m=ambm(3) (4) am

an=am-n(4) (5) am

n=nam=(na)m,a>0(5) (6) a-m

n=1

am

n,a>05. 对数运算(1) loga(MN)=logaM+logaN(2) loga(M

N)=logaM-logaN(3) logaMb=blogaM(4) logaM=logbM

logba(5) N=logaaN=alogaN，特别的当a=e时，N=lneN=elnN6. 数列6.1. 等差数列首项为a1，公差为d(d≠0)的数列 a1,a1+d,a1+2d,⋯,a1+(n-1)d,⋯.① 通项公式an=a1+(n-1)d② 前n项的和Sn=n

2[2a1+(n-1)d]=n

2(a1+an).6.2. 等比数列首项为a1，公比为r(r≠0)的数列 a1,a1r,a1r2,⋯,a1rn-1,⋯.① 通项公式 an=a1rn-1.② 前n项的和 Sn=a

na1，		r=1，
a1(1-rn) 1-r，		r≠1.

③ 常用 1+r+r2+⋯+rn-1=1-rn

1-r(r≠1).6.3. 一些常见数列前n项的和.① n∑k=1k=1+2+3+⋯+n=n(n+1)

2.② n∑k=1k2=12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)

6.③ n∑k=11

k(k+1)=1

1×2+1

2×3+1

3×4+⋯+1

n(n+1)=n

n+1.7. 三角函数7.1. 三角函数基本关系 csc𝛼=1

sin𝛼，sec𝛼=1

cos𝛼，cot𝛼=1

tan𝛼，tan𝛼=sin𝛼

cos𝛼，cot𝛼=cos𝛼

sin𝛼， sin2𝛼+cos2𝛼=1，1+tan2𝛼=sec2𝛼，1+cot2𝛼=csc2𝛼.7.2. 诱导公式奇变偶不变，符号看象限2（任一角度均可表示为k𝜋

2+𝛼,k∈𝚭,|𝛼|<𝜋

4，根据k的奇偶性）7.3. 重要公式7.3.1. 倍角公式

sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼	cos2𝛼=cos2𝛼-sin2𝛼=1-2sin2𝛼=2cos2𝛼-1
sin3𝛼=-4sin3𝛼+3sin𝛼	cos3𝛼=4cos3𝛼-3cos𝛼
tan2𝛼=2tan𝛼 1-tan2𝛼	cot2𝛼=cot2𝛼-1 2cot𝛼

7.3.2. 半角公式

sin2𝛼 2=1-cos𝛼 2	cos2𝛼 2=1+cos𝛼 2
sin𝛼 2=±1-cos𝛼 2	cos𝛼 2=±1+cos𝛼 2
tan𝛼 2=1-cos𝛼 sin𝛼=sin𝛼 1+cos𝛼=±1-cos𝛼 1+cos𝛼
cot𝛼 2=sin𝛼 1-cos𝛼=1+cos𝛼 sin𝛼=±1+cos𝛼 1-cos𝛼

7.3.3. 和差公式 sin(𝛼±𝛽)=sin𝛼cos𝛽±cos𝛼sin𝛽 cos(𝛼±𝛽)=cos𝛼cos𝛽∓sin𝛼sin𝛽 tan(𝛼±𝛽)=tan𝛼±tan𝛽

1∓tan𝛼tan𝛽 cot(𝛼±𝛽)=cot𝛼cot𝛽∓1

cot𝛽±cot𝛼 7.3.4. 积化和差与和差化积公式(i) 积化和差公式sin𝛼cos𝛽=1

2[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼-𝛽)]cos𝛼sin𝛽=1

2[sin(𝛼+𝛽)-sin(𝛼-𝛽)]cos𝛼cos𝛽=1

2[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼-𝛽)]sin𝛼sin𝛽=1

2[cos(𝛼-𝛽)-cos(𝛼+𝛽)](i) 和差化积公式sin𝛼+sin𝛽=2sin𝛼+𝛽

2cos𝛼-𝛽

2sin𝛼-sin𝛽=2sin𝛼-𝛽

2cos𝛼+𝛽

2cos𝛼+cos𝛽=2cos𝛼+𝛽

2cos𝛼-𝛽

2cos𝛼-cos𝛽=-2sin𝛼+𝛽

2sin𝛼-𝛽

27.3.5. 万能公式若u=tanx

2(-𝜋<x<𝜋)，则sinx=2u

1+u2,cosx=1-u2

1+u2.8. 常用不等式(1) 设a,b为实数，则① |a±b|⩽|a|+|b|;② a|a|-|b|a⩽|a-b|.(1)

[ 注:可以将上述不等式①推广为 ]

a 离散情况：设a1,a2,⋯,an为实数，则 |a1±a2±⋯±an|≤|a1|+|a2|+⋯+|an|.

a 连续情况：设f(x)在[a,b](a<b)上可积，则 |b∫af(x)dx|≤b∫a|f(x)|dx.

(1) (2) ① ab⩽a+b

2⩽a2+b2

2(a,b>0);(2) ②3abc⩽a+b+c

3⩽a2+b2+c2

3 (a,b,c>0).(2) (3) 设a>b>0，则a

当 n>0 时，		an>bn，
当 n<0 时，		an<bn.

(3) (4) 若0<a<x<b,0<c<y<d，则c

b<y

x<d

a.(4) (5) sinx<x<tanx (0<x<𝜋

2).(5) (6) sinx<x (x>0)(6) (7) arctanx⩽x⩽arcsinx(0⩽x⩽1).(7) (8) ex⩾x+1 (∀x)(8) (9) x-1⩾lnx (x>0).(9) (10) 1

1+x<ln(1+1

x)<1

x (x>0). 9. 计数原理9.1. 加法原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，⋯⋯在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+mn种不同的方法.9.2. 乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，⋯⋯做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2⋯mn种不同的方法.9.3. 排列与排列数(1) 定义(1) 从n不同的元素中，任取m个元素（m⩽n），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列，所以有这些排列的个数，称为排列数，记为Pmn.(1) (1) 当m=n时，即n个不同元素全部取出的排列数，称为全排列，记为Pnn.(1) (2) 排列数公式(2) P0n=1(2) Pnn=Pn-1n=n!(2) Pmn=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)=n!

(n-m)!9.4. 组合与组合数(1) 定义(1) 从n个不同元素中，任取m个元素（m⩽n），不论顺序组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有这些组合的个数，称为组合数，记为Cmn.(1) (2) 组合数公式(2) C0n=Cnn=1(2) Cmn=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)

m!=n!

m!(n-m)!(2) Cmn=Cn-mn9.5. 二项式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+⋯+Crnan-rbr+⋯+Cnnbn (a+b)n=C0nbn+C1nbn-1a+C2nbn-2a2+⋯+Crnbn-rar+⋯+Cnnan 这个公式表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式，它有n+1项，各项的系数Crn叫二项式系数. Crnan-rbr叫二项展开式的通项，用Tn表示，即通项Tn=Crnan-rbr. 10. 平面几何10.1. 平面图形10.1.1. 三角形 设三角形的底为a，高为h，则S=1

2ah=1

2acsin∠B=1

2absin∠C=1

2bcsin∠A.10.1.2. 平行四边形 若平行四边形两边长分别为a,b，以b为底的高为h，则面积S=bh，周长C=2(a+b).10.1.3. 矩形 设矩形两边长为a,b，则面积S=ab，周长C=2(a+b)，对角线长l=a2+b2.10.1.4. 梯形 设梯形的上底为a，下底为b，高为h，面积S=1

2(a+b)h.10.1.5. 圆 若圆的半径是r，则面积S=𝜋r2，周长C=2𝜋r.10.1.6. 扇形 设𝜃为扇形角的弧度数，r为扇形半径，则弧长l=𝜃r，扇形面积S=1

2lr=1

2𝜃r2.10.2. 空间几何体10.2.1. 长方体 设长方体的三条棱长分别是a,b,c，1. 长方体的表面积S=2(ab+ac+bc).2. 长方形的体积V=abc=S1h，其中S1为长方体的底面积.10.2.2. 圆柱 设圆柱的高为h，地面半径为r，则:1. 圆柱体的侧面积S=2𝜋rh.2. 圆柱体的体积V=𝜋r2h.10.2.3. 球体 设球的半径为r，则:1. 球的表面积S=4𝜋r2.2. 球的体积S=4

3𝜋r3.11. 平面解析几何11.1. 关于点的公式11.1.1. 两点距离公式两点A(x1,y1)与B(x2,y2)之间的距离d=(x2-x1)2+(y2-y1)211.1.2. 中点坐标公式两点A(x1,y1)与B(x2,y2)的中点坐标为(x1+x2

2,y1+y2

2)11.1.3. 两点斜率公式过A(x1,y1),B(x2,y2)两个点直线的斜率k=y2-y1

x2-x1(x1≠x2)11.1.4. 点到直线距离公式点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|

A2+B211.2. 直线方程11.2.1. 一般式Ax+By+C=0 (A,B不全为零)，B≠0时，k=-A

B；B=0时，斜率k不存在11.2.2. 点斜式过点P(x0,y0)，斜率为k的直线方程为y-y0=k(x-x0).11.3. 两条直线的位置关系 设不重合的两条直线为l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=011.3.1. 两条直线相交若A1B2-A2B1≠0，则l1与l2相交，方程组a

A1x+B1y+C1=0

A2x+B2y+C2=0

有唯一实数解(x0,y0)就是l1与l2的交点.11.3.2. 两条直线平行l1∥l2⇔ A1B2=A2B1若l1与l2的斜率均存在，分别为k1与k2，则l1∥l2⇔ k1=k211.3.3. 两条直线垂直l1⟂l2⇔ A1A2+B1B2=0若l1与l2的斜率均存在，分别为k1与k2，则l1⟂l2⇔ k1k2=-111.4. 圆的方程11.4.1. 圆的标准方程 当圆心为C(x0,y0)，半径为r时，圆的标准方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2 特别地，当圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x2+y2=r2.11.4.2. 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，配方可得圆心坐标为(-D

2,-E

2)，半径为r=1

2D2+E2-4F. 11.5. 直线与圆的位置关系直线l:y=kx+b，圆o:(x-x0)2+(y-y0)2=r2，d为圆心(x0,y0)到直线l的距离，又设方程组， (1)a

y=kx+b

(x-x0)2+(y-y0)2=r2

1. 直线与圆相交⇔d<r⇔方程组(1)有两不等的实根;2. 直线与圆相交⇔d=r⇔方程组(1)有两相等的实根;3. 直线与圆相离⇔d>r⇔方程组(1)无实根;11.6. 椭圆的标准方程 x2

a2+y2

b2=1或x2

b2+y2

a2=111.7. 双曲线的标准方程x2

a2-y2

b2=1或y2

a2-x2

b2=111.8. 抛物线的标准方程y2=±2px，x2=±2py.

1正整数的双阶乘表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积

2一全正，二正弦，三正切，四余弦