常用的泰勒级数

以下公式来源于South Caolina 1.$\frac{1}{1-x}$ $$ \begin{aligned}\frac{1}{1-x} &=\quad1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots \\&=\quad\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\end{aligned} $$ 当为几何级数时。只需将$x$视为$r$ $x\in (-1,1)$ 2. $e^x$ $$ \begin{aligned}e^{x}\quad &=\quad 1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots \\&=\quad\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\end{aligned} $$ 3.$\cos{x}$ $$ \begin{aligned}\cos x\quad &=\quad1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\frac{x^{8}}{8 !}-\ldots \\&=\quad\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}\end{aligned} $$ 4.$\sin{x}$ $$ \begin{aligned}\sin x \quad &=\quad x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\frac{x^{9}}{9 !}-\ldots \\&=\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n-1)} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !} \stackrel{\text { or }}{=} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}\end{aligned} $$ 5.$\ln{(1+x)}$ $$ \begin{aligned}\ln (1+x)\quad &=\quad x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}-\ldots \\&=\quad\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n-1)} \frac{x^{n}}{n} \stackrel{\text { or }}{=} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}\end{aligned} $$...

July 8, 2021 · 1 min · Loyio Hex

KaTeX(Latex)支持的TeX函数

字符与Unicode 希腊字母(Greek Letters) 小写形式 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex $\alpha$ \alpha $\beta$ \beta $\gamma$ \gamma $\delta$ \delta $\epsilon$ \epsilon $\zeta$ \zeta $\eta$ \eta $\theta$ \theta $\iota$ \iota $\kappa$ \kappa $\lambda$ \lambda $\mu$ \mu $\nu$ \nu $\xi$ \xi $\omicron$ \omicron $\pi$ \pi $\rho$ \rho $\sigma$ \sigma $\tau$ \tau $\upsilon$ \upsilon $\phi$ \phi $\chi$ \chi $\psi$ \psi $\omega$ \omega $\varepsilon$ \varepsilon $\varkappa$ \varkappa $\vartheta$ \vartheta $\thetasym$ \thetasym $\varpi$ \varpi $\varrho$ \varrho $\varsigma$ \varsigma $\varphi$ \varphi $\digamma$ \digamma $\varGamma$ \varGamma $\varDelta$ \varDelta $\varTheta$ \varTheta $\varLambda$ \varLambda $\varXi$ \varXi $\varPi$ \varPi $\varSigma$ \varSigma $\varUpsilon$ \varUpsilon $\varPhi$ \varPhi $\varPsi$ \varPsi $\varOmega$ \varOmega 大写形式 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex $\Alpha$ \Alpha $\Beta$ \Beta $\Gamma$ \Gamma $\Delta$ \Delta $\Epsilon$ \Epsilon $\Zeta$ \Zeta $\Eta$ \Eta $\Theta$ \Theta $\Iota$ \Iota $\Kappa$ \Kappa $\Lambda$ \Lambda $\Mu$ \Mu $\Nu$ \Nu $\Xi$ \Xi $\Omicron$ \Omicron $\Pi$ \Pi $\Rho$ \Rho $\Sigma$ \Sigma $\Tau$ \Tau $\Upsilon$ \Upsilon $\Phi$ \Phi $\Chi$ \Chi $\Psi$ \Psi $\Omega$ \Omega 其它字符 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex 渲染字符 Katex $\imath$ \imath $\nabla$ \nabla $\Im$ \Im $\Reals$ \Reals $\text{\OE}$ \text{\OE} $\jmath$ \jmath $\partial$ \partial $\image$ \image $\wp$ \wp $\text{\o}$ \text{\o} $\aleph$ \aleph $\Game$ \Game $\Bbbk$ \Bbbk $\weierp$ \weierp $\text{\O}$ \text{\O} $\alef$ \alef $\Finv$ \Finv $\N$ \N $\Z$ \Z $\text{\ss}$ \text{\ss} $\alefsym$ \alefsym $\cnums$ \cnums $\natnums$ \natnums $\text{\aa}$ \text{\aa} $\text{\i}$ \text{\i} $\beth$ \beth $\Complex$ \Complex $\R$ \R $\text{\AA}$ \text{\AA} $\text{\j}$ \text{\j} $\gimel$ \gimel $\ell$ \ell $\Re$ \Re $\text{\ae}$ \text{\ae} $\daleth$ \daleth $\hbar$ \hbar $\real$ \real $\text{\AE}$ \text{\AE} $\eth$ \eth $\hslash$ \hslash $\reals$ \reals $\text{\oe}$ \text{\oe} 操作符 大操作符 渲染操作符 Katex 说明 举例 Katex函数 $\sum$ \sum 求和符号 $\displaystyle\sum_{n=1}^{6}{4n}$ \displaystyle\sum_{n=1}^{6}{4n} $\prod$ \prod 连乘、求积符号 $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{(1-\frac{1}{4n^2})}$ \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{(1-\frac{1}{4n^2}) $\bigotimes$ \bigotimes $\bigvee$ \bigvee $\int$ \int 积分符号 $\int_{0}^{t}{f(t)dt}$ \int_{0}^{t}{f(t)dt}

July 8, 2021 · 2 min · Loyio Hex

图像处理第三次实验-图像预处理

一.对比度优化方法CLAHE 1.使用软件fiji优化图片序列 实验过程: 1)下载安装Fiji 2)解压30-T4N2, 24_pre_waterT1C.nii.zip 3)打开一张图片 4)在fiji中, Process -> Enhance Local Contrast(CLAHE, Contrast Limited Adaptive Histogram Equalization 直方图均衡化算法),将参数设置为如下,观察图片变化 blocksize = 64 histogram bins = 128 max slope = 2.0 图片效果如下 原图 处理后的图 可以看到部分区域对比度增强,图像中体现的信息也更为突出。 2.使用fiji脚本批量处理一组图片 1)使用fiji打开16-T2N2,33+_post_waterT1C.nii.gz 2)使用Fiji’s scripting editor,将语言更改为IJ1 Macro,运行脚本 3)最后点击菜单栏File → Save As → Image Sequence 保存为png格式,存储在文件夹中。 二.图像x-ray去噪 使用median filter算法,批处理文件/x-ray-images-enhancement-master/images/ 中值滤波器:中值滤波器是众所周知的阶数统计滤波器之一,因为它对某些特定的噪声类型(例如“高斯”,“随机”和“盐和胡椒”噪声)具有良好的性能。根据中值滤波器,将M×M邻域的中心像素替换为相应窗口的中值。注意,噪声像素被认为与中值有很大差异。使用这种思想,中值滤波器可以消除这种类型的噪声问题。 批处理代码实现如下: path='images/' file_list = [f for f in os.listdir(path) if not f.startswith('.')] file_num = len(file_list) i = 1 print("file_num", file_num) for img_dir in file_list: im = Image....

March 26, 2021 · 1 min · Loyio Hex

图像处理第二次试验-裁剪图像

医学图像预处理 1)搭建运行环境,运行Brain Tumor Detection代码中裁剪功能 预先安装好相关模块,安装Jupyter Notebook交互式计算环境 conda install jupyter 首先导入相关包 import tensorflow as tf from tensorflow.keras.layers import Conv2D, Input, ZeroPadding2D, BatchNormalization, Activation, MaxPooling2D, Flatten, Dense from tensorflow.keras.models import Model, load_model from tensorflow.keras.callbacks import TensorBoard, ModelCheckpoint from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.metrics import f1_score from sklearn.utils import shuffle import cv2 import imutils import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import time from os import listdir %matplotlib inline 因为这里只是进行图形预处理,对Brain Tumor图片进行裁剪,主要用到的包是cv2, imutils, numpy, matplotlib....

March 22, 2021 · 3 min · Loyio Hex

图像处理第一次实验-初识CV

1.jpg 2.jpg 1.对1.jpg 分别作灰度化, 模糊化处理. 代码如下 """ @Project: imageProcessing @Author: loyio @Date: 3/20/21 """ from PIL import Image, ImageFilter if __name__ == '__main__': # greyscale imgfileOne = "Sample/1" sample_img = Image.open(imgfileOne+".jpg").convert('L') sample_img.save(imgfileOne+"_processed_gray.jpg") # Blur # sample_img = Image.open(imgfileOne+".jpg").filter(ImageFilter.BLUR) sample_img = Image.open(imgfileOne+".jpg").filter(ImageFilter.BoxBlur(5)) sample_img.save(imgfileOne + "_processed_blur.jpg") 图片效果如下 灰度处理 模糊处理 2.对2.jpg生成手绘效果 代码如下 """ @Project: imageProcessing @Author: loyio @Date: 3/20/21 """ from PIL import Image, ImageFilter import numpy as np if __name__ == '__main__': # Paint imgfileTwo = "Sample/2" sample_img_ary = np....

March 20, 2021 · 1 min · Loyio Hex