1.方向导数
方向导数的计算公式
设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微分，则 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处沿任意方向 $l$ 的方向导数都存在，且
$$ \frac{\partial u}{\partial l}\Bigl|_{P_{0}} =u'_{x}( P_{0})\cos \alpha +u'_{y}( P_{0})\cos \beta +u'_{z}( P_{0})\cos \gamma $$二元函数的情况与三元函数类似
2.梯度
在一个数量场中，函数在所给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的。为研究沿哪一个方向其方向导数最大、或增加的速度最快，于是引入了一个重要的概念—梯度
设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处具有一阶偏导数，则定义
$$ \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) $$为函数$u=u(x,y,z)$ 在点$P_0$处的梯度
3.方向导数与梯度的关系
由方向导数的计算公式 $\frac{\partial{u}}{\partial{l}}\bigl|_{P_0} = (u_x’(P_0),u_y’(P_0),u_z’(P_0))$与梯度的定义
$$ \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) $$可以得到
$$ \begin{aligned} \left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{P_{0}} &=\left(u_{x}^{\prime}\left(P_{0}\right), u_{y}^{\prime}\left(P_{0}\right), u_{z}^{\prime}\left(P_{0}\right)\right) \cdot(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\left.\operatorname{grad} u\right|_{P_{0}} \cdot l^{\circ} \\ &=\left|\operatorname{grad} u\bigl|_{P_{0}}\right| | l^{\circ}|\cos \theta=\left| \operatorname{grad} u\bigl|_{P_{0}} \right| \cos \theta, \end{aligned} $$其中 $\theta$ 为 $\operatorname{grad}u\bigl|_{P_0}$与 $l^\circ$的夹角，当$\cos{\theta}=1$时
$\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial{l}}\bigl|_{P_0}$有最大值
4.散度
设向量场 $A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$,则 $$ \operatorname{div} A = \frac{\partial{P}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{y}}+\frac{\partial{R}}{\partial{z}} $$ 叫散度。
5.旋度
设向量场$A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$ ，则
$$ \operatorname{rot} \boldsymbol{A}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| $$叫作旋度
$\operatorname{rot}A$表示场在$(x,y,z)$处最大旋转趋势的度量，若$\operatorname{rot}A=0$在场内处处成立，称 $A$为无旋场。