一.可分离变量的一阶微分方程
如果能够把一阶微分方程中所有关于 $y$ 的部分 (包括 $\mathrm{d}y$) 放在一边, 所有关于 $x$ 的部分 (包括 $\mathrm{d}x$) 放在另一边, 则该微分方程被称为是可分离变量的. 例如, 方程 $\mathrm{dy}/\mathrm{dx} = ky$ 可重新整理为 $$ \frac{1}{ky}\mathrm{d}y = \mathrm{d}x, $$ 就是可分离变量的。
然后继续计算的方法就是两遍加积分号求积分。然后再整理求得 $y$。
最终求得的全解，可能会包含一些常数变量。
如果在题干中，涉及到初值时，还是使用以上的求解方法，最后将初值代入求得的全解中，就可以得到未知常数$C$了。
二.一阶线性方程的求解
1.前言
形如 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y = q(x) $$ 其中 $p$ 和 $q$ 是关于 $x$ 的函数，这样的方程就称为一阶线性微分方程， 它可能不是可分离变量的, 甚至连线性看起来也不很明显! 例如, $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) $$ 就不像是线性的, 然而这个方程确实是一阶线性的, 因为 $y$ 和 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 的幂次都是 1. 而方程 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y^{3}=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) $$ 不是一阶线性的, 因为 $y^3$ 不是 $y$ 的一次
同样，上述式子也不是可分离变量的，我们无法得到一个一边只关于$x$ ，另一边只关于$y$的表达式。
我们对上式两遍都乘以$\mathrm{e}^{2x^3}$,对右边进行了化简。得到以下表达式： $$ \mathrm{e}^{2 x^{3}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} \mathrm{e}^{2 x^{3}} y=\sin (x) $$ 观察左边的式子，我们根据求导乘积法则的逆用（即$(uv)’ = u’v+uv’$），可以将$\mathrm{e}^{2 x^{3}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} \mathrm{e}^{2 x^{3}}$改写成$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{e}^{2 x^{3}}y)$，即$\mathrm{e}^{2 x^{3}}$乘以 $y$ 的导数。
然后得到下面的表达式： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{e}^{2 x^{3}}y) = \sin{x} $$ 现在要做的就是两遍关于 $x$ 积分，这样，就消掉了左边的导数，剩下 $$ \mathrm{e}^{2 x^{3}} y=\int \sin (x) \mathrm{d} x=-\cos (x)+C $$ 最后除以$\mathrm{e}^{2x^3}$，得到解 $$ y=(C-\cos (x)) \mathrm{e}^{-2 x^{3}} $$ 其中$C$为任意常数，可以求导验证是否满足原微分方程。
2.积分因子
上述求解的关键是乘以$\mathrm{e}^{2x^3}$ . 之后, 我们能将左边整体写成 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ (某式) 的形式, 这样就很容易积分了. 出于这个原因, $\mathrm{e}^{2x^3}$被称为积分因子. 可知, 对于一般一阶线性微分方程 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+p(x) y=q(x) $$ 积分因子由等式 $$ \text{积分因子}=e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}} $$ 给出，这里不必对积分结果 $+C$. 在将原微分方程乘了这个积分因子之后，左边就可被"因式分解"成 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{(\text{积分因子}\times y)} $$
下面我们通过一个例子来学习应用一下 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\mathrm{e}^{x} y+\mathrm{e}^{2 x}, \quad y(0)=2(\mathrm{e}-1) ? $$ 这是一个IVP（初始值问题），第一件事是将其变成标准形式, 意思是需将所有关于 $y$ 的部分放在左边, 所有关于 $x$ 的部分放在右边, 且 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 的系数要为 1. 在本例中, 我们只需两边减去 $e^xy$, 得 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\mathrm{e}^{x} y=\mathrm{e}^{2 x}, \quad y(0)=2(\mathrm{e}-1) $$ $y$ 的系数为$-e^x$，可以可以求得积分因子 $$ \text { 积分因子 }=\mathrm{e}^{\int\left(-\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x}=\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} \text { . } $$ 我们用这个积分因子乘以上述微分方程的两边： $$ \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} y=\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} \mathrm{e}^{2 x} $$ 跟之前的步骤一样，左边是积分因子乘 $y$ 的导数，所以得到下式： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} y\right)=\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} \mathrm{e}^{2 x} $$ 当然也可以通过左边求导验证这个步骤是否正确。
然后，对上述方程的两边积分可得： $$ \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} y=\int \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x $$ 求右边的积分，令 $t= e^x$，则 $\mathrm{d}t = e^x\mathrm{d}x$，主要运用分布积分法完成，最终结果方程为 $$ \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}} y=-\mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{x}}+C \text { . } $$ 最后，两边除以积分因子$e^{-\mathrm{e}^x}$可得 $$ y=-\mathrm{e}^x-1+C\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x} $$ 对某常数 $C$ 成立，现在剩下的就是解初值问题，当 $x=0$ 时，我们直到 $y=2(\mathrm{e}-1)$，所以将这个带入上述方程，有 $$ 2(\mathrm{e}-1)=-\mathrm{e}^{0}-1+C \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{0}} $$ 很容易解出 $C=2$，故最后的解是 $$ y=2 \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}-\mathrm{e}^{x}-1 $$ 可对其求导来验证它满足原微分方程