场论初步

1.方向导数 方向导数的计算公式 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微分，则 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处沿任意方向 $l$ 的方向导数都存在，且 $$ \frac{\partial u}{\partial l}\Bigl|_{P_{0}} =u'_{x}( P_{0})\cos \alpha +u'_{y}( P_{0})\cos \beta +u'_{z}( P_{0})\cos \gamma $$ 二元函数的情况与三元函数类似 2.梯度 在一个数量场中，函数在所给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的。为研究沿哪一个方向其方向导数最大、或增加的速度最快，于是引入了一个重要的概念—梯度 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处具有一阶偏导数，则定义 $$ \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) $$ 为函数$u=u(x,y,z)$ 在点$P_0$处的梯度 3.方向导数与梯度的关系 由方向导数的计算公式 $\frac{\partial{u}}{\partial{l}}\bigl|_{P_0} = (u_x’(P_0),u_y’(P_0),u_z’(P_0))$与梯度的定义 $$ \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) $$ 可以得到...