场论初步

1.方向导数 方向导数的计算公式 设三元函数 u=u(x,y,z)u=u(x,y,z) 在点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0) 处可微分,则 u=u(x,y,z)u=u(x,y,z) 在点 P0P_0 处沿任意方向 ll 的方向导数都存在,且 ulP0=ux(P0)cosα+uy(P0)cosβ+uz(P0)cosγ \frac{\partial u}{\partial l}\Bigl|_{P_{0}} =u'_{x}( P_{0})\cos \alpha +u'_{y}( P_{0})\cos \beta +u'_{z}( P_{0})\cos \gamma 二元函数的情况与三元函数类似 2.梯度 在一个数量场中,函数在所给定点处沿不同的方向,其方向导数一般是不相同的。为研究沿哪一个方向其方向导数最大、或增加的速度最快,于是引入了一个重要的概念—梯度 设三元函数 u=u(x,y,z)u=u(x,y,z) 在点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0) 处具有一阶偏导数,则定义 grad uP0=(ux(P0), uy(P0), uz(P0)) \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) 为函数u=u(x,y,z)u=u(x,y,z) 在点P0P_0处的梯度 3.方向导数与梯度的关系 由方向导数的计算公式 ulP0=(ux(P0),uy(P0),uz(P0))\frac{\partial{u}}{\partial{l}}\bigl|_{P_0} = (u_x’(P_0),u_y’(P_0),u_z’(P_0))与梯度的定义 grad uP0=(ux(P0), uy(P0), uz(P0)) \operatorname{grad}\ u\Bigl|_{P_{0}} =( u'_{x}( P_{0}) ,\ u'_{y}( P_{0}) ,\ u'_{z}( P_{0})) 可以得到...

July 10, 2021 · 1 min · Loyio Hex