线性方程

一.可分离变量的一阶微分方程 如果能够把一阶微分方程中所有关于 $y$ 的部分 (包括 $\mathrm{d}y$) 放在一边, 所有关于 $x$ 的部分 (包括 $\mathrm{d}x$) 放在另一边, 则该微分方程被称为是可分离变量的. 例如, 方程 $\mathrm{dy}/\mathrm{dx} = ky$ 可重新整理为 $$ \frac{1}{ky}\mathrm{d}y = \mathrm{d}x, $$ 就是可分离变量的。 然后继续计算的方法就是两遍加积分号求积分。然后再整理求得 $y$。 最终求得的全解，可能会包含一些常数变量。 如果在题干中，涉及到初值时，还是使用以上的求解方法，最后将初值代入求得的全解中，就可以得到未知常数$C$了。 二.一阶线性方程的求解 1.前言 形如 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y = q(x) $$ 其中 $p$ 和 $q$ 是关于 $x$ 的函数，这样的方程就称为一阶线性微分方程， 它可能不是可分离变量的, 甚至连线性看起来也不很明显! 例如, $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) $$ 就不像是线性的, 然而这个方程确实是一阶线性的, 因为 $y$ 和 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 的幂次都是 1. 而方程 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y^{3}=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) $$ 不是一阶线性的, 因为 $y^3$ 不是 $y$ 的一次 ...