一阶微分方程与一阶线性方程的求解

一.可分离变量的一阶微分方程 如果能够把一阶微分方程中所有关于 yy 的部分 (包括 dy\mathrm{d}y) 放在一边, 所有关于 xx 的部分 (包括 dx\mathrm{d}x) 放在另一边, 则该微分方程被称为是可分离变量的. 例如, 方程 dy/dx=ky\mathrm{dy}/\mathrm{dx} = ky 可重新整理为 1kydy=dx, \frac{1}{ky}\mathrm{d}y = \mathrm{d}x, 就是可分离变量的。 然后继续计算的方法就是两遍加积分号求积分。然后再整理求得 yy。 最终求得的全解,可能会包含一些常数变量。 如果在题干中,涉及到初值时,还是使用以上的求解方法,最后将初值代入求得的全解中,就可以得到未知常数CC了。 二.一阶线性方程的求解 1.前言 形如 dydx+p(x)y=q(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y = q(x) 其中 ppqq 是关于 xx 的函数,这样的方程就称为一阶线性微分方程, 它可能不是可分离变量的, 甚至连线性看起来也不很明显! 例如, dy dx+6x2y=e2x3sin(x) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) 就不像是线性的, 然而这个方程确实是一阶线性的, 因为 yydy/dx\mathrm{d}y/\mathrm{d}x 的幂次都是 1. 而方程 dy dx+6x2y3=e2x3sin(x) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+6 x^{2} y^{3}=\mathrm{e}^{-2 x^{3}} \sin (x) 不是一阶线性的, 因为 y3y^3 不是 yy 的一次...

July 8, 2021 · 2 min · Loyio Hex